En statistique descriptive, on est souvent amené à étudier des séries quantitatives. Lorsque le nombre de données est important ou que les données sont très dispersées, il peut être utile de les regrouper par intervalles, encore appelés classes. Cette opération permet de synthétiser l’information et de faciliter l’analyse de la série.
Dans ce cours, nous allons étudier les méthodes de description statistique d’une série quantitative groupée par intervalles. Nous verrons comment calculer et interpréter les paramètres de position (moyenne, médiane, mode) et de dispersion (variance, écart-type, étendue). Nous apprendrons également à représenter graphiquement une série quantitative groupée par intervalles à l’aide d’histogrammes et de polygones des fréquences cumulées.
Considérons la série statistique suivante, représentant les tailles (en cm) de 100 étudiants :
| Taille (cm) | Effectif |
|---|---|
| [150, 160[ | 10 |
| [160, 170[ | 25 |
| [170, 180[ | 35 |
| [180, 190[ | 20 |
| [190, 200[ | 10 |
Cette série est une série quantitative groupée par intervalles. Les classes sont les intervalles [150, 160[, [160, 170[, etc. Les effectifs sont le nombre d’étudiants dont la taille appartient à chaque classe.
Soit une série quantitative continue contenant \(n\) individus, notée : \[ x_1, x_2, \dots, x_n. \]
Les valeurs sont regroupées en \(K\) intervalles ou classes notées : \[ [a_0, a_1[, [a_1, a_2[, \dots, [a_{K-1}, a_K]. \]
Chaque classe est définie par :
Une série quantitative regroupée en intervalles est généralement représentée sous forme d’un tableau statistique structuré comme suit :
| Classes | Bornes \([a_k, a_{k+1}[\) | Centre de classe \(c_k\) | Effectif \(n_k\) | Fréquence \(f_k\) | Effectif cumulé \(N_k\) | Fréquence cumulée \(F_k\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \([a_0, a_1[\) | \(c_1\) | \(n_1\) | \(f_1\) | \(N_1\) | \(F_1\) |
| 2 | \([a_1, a_2[\) | \(c_2\) | \(n_2\) | \(f_2\) | \(N_2\) | \(F_2\) |
| … | … | … | … | … | … | … |
| K | \([a_{K-1}, a_K[\) | \(c_K\) | \(n_K\) | \(f_K\) | \(N_K\) | \(F_K\) |
| Total | - | - | \(n\) | 1 | - | - |
Example 1 On étudie les salaires de 100 employés, regroupés en 5 classes :
| Classes | Bornes (en euros) | Centre \(m_k\) | Effectif \(n_k\) | Fréquence \(f_k\) | Effectif cumulé \(N_k\) | Fréquence cumulée \(F_k\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \([1000, 2000[\) | 1500 | 15 | 0.15 | 15 | 0.15 |
| 2 | \([2000, 3000[\) | 2500 | 30 | 0.30 | 45 | 0.45 |
| 3 | \([3000, 4000[\) | 3500 | 25 | 0.25 | 70 | 0.70 |
| 4 | \([4000, 5000[\) | 4500 | 20 | 0.20 | 90 | 0.90 |
| 5 | \([5000, 6000[\) | 5500 | 10 | 0.10 | 100 | 1.00 |
| Total | - | - | 100 | 1.00 | - | - |
Le choix du nombre de classes et de leurs bornes influence fortement l’interprétation des résultats. Il est généralement recommandé de : - Choisir un nombre raisonnable de classes (règle de Sturges : \(K \approx 1 + 3.3 \log_{10}(n)\)). - Opter pour des intervalles de même largeur sauf dans certains cas spécifiques. - Vérifier la cohérence des effectifs (éviter des classes avec très peu ou trop d’observations).
Les paramètres de position permettent de résumer la position centrale d’une série statistique. Pour une série quantitative groupée par intervalles, les principaux paramètres de position sont la moyenne, la médiane et le mode.
La moyenne arithmétique d’une série quantitative groupée par intervalles est la somme des produits des centres de classe par les effectifs, divisée par l’effectif total :
\[\bar{x} = \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^K n_kc_k\]
où :
La moyenne arithmétique est une mesure de tendance centrale qui représente la valeur moyenne des observations. Elle est sensible aux valeurs extrêmes.
La médiane est la valeur qui sépare la population en deux groupes de même effectif. Pour une série quantitative groupée par intervalles, la médiane est estimée par interpolation linéaire dans la classe médiane, c’est-à-dire la classe qui contient l’observation médiane.
La classe médiane est la classe dont la fréquence cumulée dépasse 0,5 pour la première fois. La médiane est alors estimée par la formule :
\[Me = a_{m-1} + \dfrac{0.5 - F_{m-1}}{f_m} \times (a_m - a_{m-1})\]
où :
La médiane est une mesure de tendance centrale robuste aux valeurs extrêmes.
Le mode est la valeur la plus fréquente de la série. Pour une série quantitative groupée par intervalles, le mode est estimé par le centre de la classe modale, c’est-à-dire la classe qui a l’effectif le plus élevé.
Le mode est une mesure de tendance centrale qui représente la valeur typique des observations. Il est utile pour les séries unimodales, c’est-à-dire les séries qui ont un seul pic.
Example 2 Reprenons l’exemple de la série statistique représentant les tailles de 100 étudiants :
| Taille (cm) | Effectif | Centre de classe |
|---|---|---|
| [150, 160[ | 10 | 155 |
| [160, 170[ | 25 | 165 |
| [170, 180[ | 35 | 175 |
| [180, 190[ | 20 | 185 |
| [190, 200[ | 10 | 195 |
Les paramètres de dispersion permettent de mesurer la dispersion des valeurs d’une série statistique autour de la position centrale. Pour une série quantitative groupée par intervalles, les principaux paramètres de dispersion sont l’étendue, la variance, l’écart-type et le coefficient de variation.
L’étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série :
\[e = x_{max} - x_{min}\]
L’étendue est une mesure simple de la dispersion, mais elle est très sensible aux valeurs extrêmes.
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
\[s^2 = \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^K n_k (c_k - \bar{x})^2\]
L’écart-type est la racine carrée de la variance :
\[s = \sqrt{s^2}\]
La variance et l’écart-type sont des mesures de dispersion plus robustes que l’étendue. Ils sont sensibles à toutes les valeurs de la série, mais ils sont moins affectés par les valeurs extrêmes.
Le coefficient de variation est le rapport de l’écart-type à la moyenne :
\[CV = \dfrac{s}{\bar{x}}\]
Le coefficient de variation est une mesure de dispersion relative. Il permet de comparer la dispersion de deux séries qui n’ont pas la même unité de mesure ou la même moyenne.
Example 3 Reprenons l’exemple de la série statistique représentant les tailles de 100 étudiants :
| Taille (cm) | Effectif | Centre de classe |
|---|---|---|
| [150, 160[ | 10 | 155 |
| [160, 170[ | 25 | 165 |
| [170, 180[ | 35 | 175 |
| [180, 190[ | 20 | 185 |
| [190, 200[ | 10 | 195 |
La série des tailles des étudiants a une étendue de 50 cm, une variance de 145.25 cm\(^2\), un écart-type de 12.05 cm et un coefficient de variation de 0.069.
Example 4 Reprenons l’exemple de la série statistique représentant les tailles de \(n=100\) étudiants :
| Taille (cm) | Effectif | Centre de classe |
|---|---|---|
| [150, 160[ | 10 | 155 |
| [160, 170[ | 25 | 165 |
| [170, 180[ | 35 | 175 |
| [180, 190[ | 20 | 185 |
| [190, 200[ | 10 | 195 |
Traçons l’histogramme des fréquences.
require(ggplot2)Le chargement a nécessité le package : ggplot2x = c(rep(155, 10), rep(165, 25), rep(175, 35), rep(185, 20), rep(195, 10))
ggplot(mapping = aes(x=x, y=..density..)) +
geom_histogram(color = "coral", fill = "steelblue", breaks = c(150, 160, 170, 180, 190, 200), closed = "left")Warning: The dot-dot notation (`..density..`) was deprecated in ggplot2 3.4.0.
ℹ Please use `after_stat(density)` instead.
Les représentations graphiques permettent de visualiser la distribution des données regroupées en classes. Les principales méthodes utilisées sont l’histogramme, le diagramme circulaire et la fonction de répartition.
L’histogramme est une représentation graphique où chaque classe est représentée par un rectangle dont :
Histogramme des éffectifs
\[ h_k = \dfrac{n_k}{a_k}, \] où
\(a_k\) est l’amplitude de la classe
\(h_k\) sa hauteur
Histogramme des fréquences \[ h_k = \dfrac{f_k}{a_k}. \]
Example 5 (Scores à un examen) On considère les scores obtenus par un groupe d’étudiants lors d’un examen:
require(ggplot2)
scores_exam <- c(55, 70, 68, 82, 90, 74, 61, 77, 85, 93, 69, 70, 75, 88, 92, 56, 65, 74, 58, 80)
ggplot(mapping = aes(x=scores_exam, )) +
geom_histogram(color = "coral", fill = "steelblue", breaks = c(50, 60, 70, 85, 100), closed = "left", )
Le diagramme circulaire (ou camembert) représente les fréquences relatives sous forme de secteurs proportionnels. L’angle associé à chaque classe est donné par : \[ \alpha_k = f_k \times 360^\circ. \]
Example 6
library(ggplot2)
data <- data.frame(
Classe = factor(c("1000-2000", "2000-3000", "3000-4000", "4000-5000"),
levels = c("1000-2000", "2000-3000", "3000-4000", "4000-5000")),
Effectif = c(5, 10, 7, 3)
)
data$Frequence <- data$Effectif / sum(data$Effectif)
ggplot(data, aes(x = "", y = Frequence, fill = Classe)) +
geom_bar(width = 1, stat = "identity") +
coord_polar("y") +
labs(title = "Répartition des classes (Diagramme circulaire)") +
theme_minimal()
Considérons le regroupement en intervalles selon les bornes \(b_0<b_1<\cdots<b_K\), que nous notons \(b_{0:K}\). Pour \(\left(b_{k-1}; b_k\right)\) l’intervalle, notons:
\(n_k\), son effectif;
\(f_k=\dfrac{n_k}{n}\), sa fréquence;
\(F_k = \sum_{h=1}^kf_h\), sa fréquence cumulée, avec \(F_0=0\).
Definition 1 Alors la fonction de répartition vérifie:
Example 7 Définir et tracer la fonction de répartition associée aux données sur les scores à un examen données dans un exemple précédent.
Quel graphique choisir ? - Histogramme : Visualisation de la répartition des effectifs. - Diagramme circulaire : Comparaison des proportions entre classes. - Fonction de répartition : Analyse cumulative des données.
Exercise 1
Construction d’un tableau statistique
Un échantillon de 150 individus a été étudié en fonction de leur revenu mensuel. Complétez le tableau suivant en calculant les fréquences et les fréquences cumulées :
| Classe (Revenu en €) | Effectif \(n_k\) | Fréquence \(f_k\) | Effectif cumulé \(N_k\) | Fréquence cumulée \(F_k\) |
|---|---|---|---|---|
| [1000-2000[ | 30 | ? | ? | ? |
| [2000-3000[ | 50 | ? | ? | ? |
| [3000-4000[ | 40 | ? | ? | ? |
| [4000-5000[ | 20 | ? | ? | ? |
| [5000-6000[ | 10 | ? | ? | ? |
Calcul des paramètres statistiques
À partir du tableau précédent, calculez :
Représentation graphique et analyse
À l’aide de ggplot2, réalisez les graphiques suivants :
Interprétez ces graphiques en expliquant la tendance centrale et la dispersion des revenus.
Exercise 2 On pèse les 50 élèves d’une classe et nous obtenons les résultats résumés dans le tableau suivant :
| 43 | 43 | 43 | 47 | 48 |
| 48 | 48 | 48 | 49 | 49 |
| 49 | 50 | 50 | 51 | 51 |
| 52 | 53 | 53 | 53 | 54 |
| 54 | 56 | 56 | 56 | 57 |
| 59 | 59 | 59 | 62 | 62 |
| 63 | 63 | 65 | 65 | 67 |
| 67 | 68 | 70 | 70 | 70 |
| 72 | 72 | 73 | 77 | 77 |
| 81 | 83 | 86 | 92 | 93 |
Exercise 3 (Salaires des employés) Le tableau ci-dessous présente la répartition des salaires mensuels (en euros) des employés d’une entreprise :
| Salaire (euros) | Effectif |
|---|---|
| [1500, 2000[ | 20 |
| [2000, 2500[ | 30 |
| [2500, 3000[ | 25 |
| [3000, 3500[ | 15 |
| [3500, 4000[ | 10 |
Exercise 4 (Notes à un examen) Les notes obtenues par 100 étudiants à un examen sont réparties comme suit :
| Note | Effectif |
|---|---|
| [0, 5[ | 10 |
| [5, 10[ | 20 |
| [10, 15[ | 40 |
| [15, 20[ | 30 |
Exercise 5 (Temps de trajet domicile-travail) Le temps de trajet domicile-travail (en minutes) de 50 employés est réparti comme suit :
| Temps (minutes) | Effectif |
|---|---|
| [0, 15[ | 5 |
| [15, 30[ | 15 |
| [30, 45[ | 20 |
| [45, 60[ | 10 |
Exercise 6 (Âge des clients d’un magasin) L’âge des clients d’un magasin est réparti comme suit :
| Âge | Effectif |
|---|---|
| [18, 25[ | 30 |
| [25, 35[ | 40 |
| [35, 50[ | 20 |
| [50, 70[ | 10 |
Exercise 7 (Production de pièces) Le nombre de pièces produites par jour par une machine est réparti comme suit :
| Production | Effectif |
|---|---|
| [100, 120[ | 10 |
| [120, 140[ | 20 |
| [140, 160[ | 30 |
| [160, 180[ | 20 |
| [180, 200[ | 10 |