Une série qualitative est une série statistique dont les valeurs sont des catégories ou des modalités sans signification numérique. Les variables qualitatives peuvent être classées en deux types :
Soit une série qualitative prenant \(K\) modalités distinctes notées : \[ m_1, m_2, \dots, m_k, \dots, m_K. \]
À partir des données brutes \(x_1, x_2, \dots, x_n\), on construit le tableau des effectifs et fréquences en suivant ces étapes :
| Modalité (\(m_k\)) | Effectif (\(n_k\)) | Fréquence (\(f_k\)) |
|---|---|---|
| \(m_1\) | \(n_1\) | \(f_1 = \frac{n_1}{n}\) |
| \(m_2\) | \(n_2\) | \(f_2 = \frac{n_2}{n}\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(m_K\) | \(n_K\) | \(f_K = \frac{n_K}{n}\) |
| Total | \(n\) | \(1\) |
Example 1 Un sondage auprès de 30 personnes porte sur leur moyen de transport principal :
| Moyen de transport | Effectif (\(n_k\)) | Fréquence (\(f_k\)) |
|---|---|---|
| Voiture | 12 | 0.40 |
| Vélo | 8 | 0.27 |
| Bus | 6 | 0.20 |
| Marche | 4 | 0.13 |
| Total | 30 | 1.00 |
Le mode d’une série qualitative est la modalité ayant le plus grand effectif. Il permet d’identifier la catégorie dominante.
Example 2 Dans l’exemple précédent, la modalité ayant le plus grand effectif est “Voiture”, ce qui signifie que c’est le moyen de transport le plus utilisé.
Lorsque la variable qualitative est ordinale, c’est-à-dire que ses modalités peuvent être classées dans un ordre logique, on peut analyser la distribution en tenant compte de cette hiérarchie.
Example 3 Un sondage sur le niveau de satisfaction de 50 clients donne les résultats suivants :
| Niveau de satisfaction | Effectif (\(n_k\)) | Fréquence (\(f_k\)) |
|---|---|---|
| Faible | 10 | 0.20 |
| Moyen | 25 | 0.50 |
| Élevé | 15 | 0.30 |
| Total | 50 | 1.00 |
La médiane est Moyen, et le mode est également Moyen, car il a l’effectif le plus élevé.
Le diagramme en bâtons est utilisé pour représenter les fréquences des différentes modalités.
library(ggplot2)
data <- data.frame(
Transport = c("Voiture", "Vélo", "Bus", "Marche"),
Effectif = c(12, 8, 6, 4)
)
ggplot(data, aes(x = Transport, y = Effectif)) +
geom_bar(stat = "identity", fill = "steelblue") +
labs(title = "Répartition des moyens de transport",
x = "Moyen de transport",
y = "Effectif") +
theme_minimal()
Un diagramme circulaire permet de visualiser la répartition des catégories sous forme de portions d’un disque.
Calcul des angles
L’angle associé à chaque modalité \(m_k\) est donné par la formule : \[ \theta_k = f_k \times 360^\circ=\dfrac{n_k}{n}\times 360^\circ. \]
Example 4 Pour la modalité “Voiture” avec une fréquence de 0.40, l’angle est : \[ \theta_{\text{Voiture}} = 0.40 \times 360 = 144^\circ. \]
library(ggplot2)
data$Frequence <- data$Effectif / sum(data$Effectif)
ggplot(data, aes(x = "", y = Frequence, fill = Transport)) +
geom_bar(width = 1, stat = "identity") +
coord_polar("y") +
labs(title = "Répartition des moyens de transport (Camembert)") +
theme_minimal()
Exercise 1
Construire le tableau statistique de cette série.
Quel est le mode de cette distribution ?
Représenter ces données sous forme d’un diagramme en bâtons et d’un diagramme circulaire.
Exercise 2 Un sondage est réalisé sur \(n=100\) personnes pour évaluer la qualité d’un service client avec les réponses : “Très insatisfait”, “Insatisfait”, “Neutre”, “Satisfait”, “Très satisfait”.
Construire le tableau statistique de cette série.
Déterminer le mode et la médiane.
Représenter ces données sous forme d’un diagramme en bâtons.
Exercise 3 (Groupes sanguins) Le tableau ci-dessous présente la répartition des groupes sanguins dans un échantillon de 40 personnes :
| Groupe sanguin | Effectif |
|---|---|
| A | 20 |
| B | 10 |
| AB | \(n_3\) |
| O | 5 |
Exercise 4 (Couleurs de voiture) Une enquête a été réalisée auprès de 100 propriétaires de voiture pour connaître la couleur de leur véhicule. Les résultats sont les suivants :
| Couleur | Effectif |
|---|---|
| Noir | 30 |
| Blanc | 25 |
| Gris | 20 |
| Rouge | 15 |
| Autres | 10 |