Soit une variable quantitative d’intérêt mesurée sur \(n\) individus. Les données observées sont notées :
\[ x_1, x_2, \dots, x_i, \dots, x_n, \quad x_i \in \mathbb{R}, \]
où \(x_i\in\mathbb{R}\) est la donnée observée sur l’individu \(i\).
Les paramètres de tendance centrale permettent de caractériser une série quantitative en fournissant une valeur représentative des données.
Les principales mesures de tendance centrale sont :
La moyenne arithmétique est définie comme la somme des observations divisée par leur nombre : \[ \bar{x} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i. \] Elle représente le point d’équilibre des données et est très utilisée en analyse statistique.
Example 1 Un enseignant collecte les notes de 5 étudiants à un examen : \[ 12, 15, 14, 10, 18. \] La moyenne est calculée comme suit : \[ \bar{x} = \dfrac{1}{5}\left(12 + 15 + 14 + 10 + 18\right) = \dfrac{69}{5} = 13.8. \]
La moyenne pondérée est utilisée lorsque certaines observations ont plus d’importance que d’autres.
Elle est définie par : \[
\bar{x}_p = \sum_{i=1}^{n} w_i x_i
\] où les \(w_i>0\) sont les poids associés aux observations, avec \(\sum_{i=1}^nw_i=1\).
Cette moyenne est particulièrement utile dans les cas suivants :
Example 2 Un étudiant passe trois épreuves avec des coefficients différents :
La moyenne pondérée est : \[ \bar{x}_p = \dfrac{(3 \times 14) + (2 \times 16) + (1 \times 12)}{3 + 2 + 1} = \frac{42 + 32 + 12}{6} = 14.33. \]
La moyenne géométrique est utilisée lorsqu’on travaille avec des taux de croissance ou des ratios, et est définie par : \[ \bar{x}_g = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}. \] Remarque
\[ \ln \bar{x}_g=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\ln x_i \]
Elle est particulièrement utile pour :
Example 3 Un investissement a des taux de rendement annuels successifs de 5%, 10% et 15%.
Les valeurs relatives sont \(1.05, 1.10, 1.15\), donc la moyenne géométrique est : \[
\bar{x}_g = \left(1.05 \times 1.10 \times 1.15\right)^{\frac{1}{3}} \approx 1.096.
\] Le rendement moyen est donc 9.6%.
La moyenne harmonique est utilisée pour calculer des moyennes de vitesses ou de ratios inverses, et est définie par : \[ \bar{x}_h = \dfrac{n}{\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_i}}. \] Remarque
Il s’agit de l’inverse de la moyenne des inverses.
Elle est utile dans :
Example 4 Un véhicule parcourt 100 km à 60 km/h puis 100 km à 100 km/h.
La vitesse moyenne n’est pas la moyenne arithmétique mais la moyenne harmonique : \[
\bar{x}_h = \dfrac{2}{\dfrac{1}{60} + \dfrac{1}{100}} = \dfrac{2}{\dfrac{10}{600}} = 75 \text{ km/h}.
\]
La moyenne quadratique est définie par : \[ \bar{x}_q = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2}. \] Elle est utilisée en traitement du signal et en statistique des erreurs.
Example 5 Les tensions électriques mesurées sont 3V, 4V et 5V.
La moyenne quadratique est : \[
\bar{x}_q = \sqrt{\frac{3^2 + 4^2 + 5^2}{3}} = \sqrt{\frac{9 + 16 + 25}{3}} = \sqrt{16.67} \approx 4.08.
\]
La médiane est la valeur qui partage la série en deux parties égales :
La médiane est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne.
Example 6 Soit la série triée \(8, 10, 12, 15, 18\).
- \(n=5\) (impair) → médiane = 12.
Si la série est \(8, 10, 12, 15, 18, 20\) (\(n=6\), pair), la médiane est : \[ \dfrac{12 + 15}{2} = 13.5. \]
On appelle mode toute modalité d’effectif ou de fréquente maximale.
Example 7 Dans la série \(12, 15, 14, 10, 15, 18, 15\), le mode est \(15\) car c’est la valeur la plus fréquente.
Les paramètres de dispersion permettent de mesurer la variabilité des données autour d’une valeur centrale (comme la moyenne). Ils indiquent dans quelle mesure les valeurs sont dispersées et aident à interpréter la distribution d’une variable.
Les principaux indicateurs de dispersion sont :
L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur d’un ensemble de données : \[ E = x_{\max} - x_{\min}. \] Elle donne une indication rapide sur l’amplitude des valeurs, mais elle est très sensible aux valeurs extrêmes.
Example 8 Soit la série \(5, 8, 12, 15, 20\).
L’étendue est : \[
E = 20 - 5 = 15.
\]
La variance mesure la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : \[ S^2 = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2. \] Elle est exprimée dans le carré de l’unité des données (ex. : si \(x_i\) est en cm, \(S^2\) est en cm²).
Example 9 Pour les données \(5, 8, 12, 15, 20\), on calcule d’abord la moyenne : \[ \bar{x} = \dfrac{5 + 8 + 12 + 15 + 20}{5} = 12. \] Puis, la variance : \[ S^2 = \frac{(5-12)^2 + (8-12)^2 + (12-12)^2 + (15-12)^2 + (20-12)^2}{5}. \] \[ S^2 = \frac{49 + 16 + 0 + 9 + 64}{5} = \frac{138}{5} = 27.6. \]
Proposition 1 \[ S^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2-\bar{x}^2. \]
Lorsque les données sont pondérées par les poids \(w_i\), on a: \[ S^2 = \sum_{i=1}^nw_i\left(x_i-\bar{x}\right)^2. \]
L’écart-type est la racine carrée de la variance, il s’exprime dans la même unité que les données : \[ S = \sqrt{S^2}. \] Il permet d’interpréter plus facilement la dispersion des valeurs.
Le coefficient de variation (CV) permet de comparer la dispersion entre deux séries de données de nature différente : \[ CV = \dfrac{S}{\bar{x}} \times 100. \] Il est exprimé en pourcentage et indique le degré relatif de dispersion.
Example 10
Bien que l’écart-type de la série B soit plus grand, son CV est plus faible, ce qui signifie que les valeurs sont moins dispersées par rapport à la moyenne.
Definition 1 (Quantile d’ordre \(\alpha\)) Pour tout \(\alpha\in]0,1[\), on appelle quantile d’ordre \(\alpha\) tout réel \(q_{\alpha}\) qui vérifie \[ \left\{ \begin{array}{lll} \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n1_{\left[x_i\leq q_{\alpha}\right]}&\geq&\alpha\\ \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n1_{\left[x_i\geq q_{\alpha}\right]}&\geq&1-\alpha\\ \end{array} \right. \]
Dans la pratique, pour déterminer \(q_{\alpha}\), on procède comme suit:
Déterminer les statistiques d’ordre (ranger les données dans l’ordre croisant): \[x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq\cdots\leq x_{(n)}.\]
Déterminer le plus petit \(n_g\) tel que \[ \left\{ \begin{array}{lll} \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n1_{\left[x_i\leq x_{(n_g)}\right]}&\geq&\alpha\\ \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n1_{\left[x_i\geq x_{(n_g)}\right]}&\geq&1-\alpha\\ \end{array} \right. \]
Déterminer le plus grand \(n_d\) tel que \[ \left\{ \begin{array}{lll} \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n1_{\left[x_i\leq x_{(n_d)}\right]}&\geq&\alpha\\ \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n1_{\left[x_i\geq x_{(n_d)}\right]}&\geq&1-\alpha\\ \end{array} \right. \]
Prendre \(q_{\alpha}=x_{(n_g)}+\alpha\left(x_{(n_d)}-x_{(n_g)}\right)\)
Definition 2 (Les quartiles)
Premier quartile: \(q_{\frac{1}{4}}\)
Deuxième quartile (médiane): \(q_{\frac{1}{2}}\)
Troisième quartile: \(q_{\frac{3}{4}}\)
Example 11 Déterminer les quartiles de la série précédente.
Definition 3 (Intervalle inter-quartile) L’intervalle inter-quartile est la plage contenant les 50% des valeurs centrales d’une distribution : \[ IIQ = q_{\frac{3}{4}} - q_{\frac{1}{4}}. \]
Cet indicateur est robuste aux valeurs extrêmes et permet de mieux comprendre la dispersion dans la zone centrale des données.
Example 12 Série : \(5, 8, 10, 12, 15, 18, 20\) (triée).
\[ IIQ = 18 - 8 = 10. \]
Posons \[ \left\{ \begin{array}{lll} b_-&=&q_{\frac{1}{4}}-1.5\times IIQ\\ b_+&=&q_{\frac{3}{4}}+1.5\times IIQ\\ \end{array} \right. \]
Les données \(x_i\notin\left[b_-,b_+\right]\) sont en générale considérées comme atypiques, et sont parfois être retirées de l’étude.
| Indicateur | Formule | Interprétation |
|---|---|---|
| Étendue | \(E = x_{\max} - x_{\min}\) | Indique la dispersion globale, très sensible aux valeurs extrêmes. |
| Variance | \(S^2 = \dfrac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2\) | Mesure la dispersion moyenne, exprimée au carré des unités des données. |
| Écart-type | \(S = \sqrt{S^2}\) | Indique la dispersion absolue, dans la même unité que les données. |
| Coefficient de variation | \(CV = \dfrac{S}{\bar{x}} \times 100\) | Permet de comparer la dispersion relative entre différentes séries. |
| Intervalle interquartile | \(IIQ = q_{\frac{3}{4}} - q_{\frac1{4}}\) | Indique la dispersion centrale, moins sensible aux valeurs extrêmes. |
Lorsqu’on dispose d’une série quantitative discrète, il est souvent utile de regrouper les valeurs sous forme d’un tableau statistique. Celui-ci permet de résumer les données, d’en faciliter l’analyse et de calculer des indicateurs statistiques.
Soit une série de \(n\) individus pour lesquels on mesure une variable quantitative discrète \(X\), prenant \(K\) valeurs distinctes \(x_1, x_2, \dots, x_K\) (les modalités).
Le tableau statistique associe à chaque valeur \(x_k\) son effectif et sa fréquence :
| Valeur \(x_i\) | Effectif \(n_i\) | Fréquence \(f_i\) |
|---|---|---|
| \(x_1\) | \(n_1\) | \(f_1 = \frac{n_1}{n}\) |
| \(x_2\) | \(n_2\) | \(f_2 = \frac{n_2}{n}\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(x_K\) | \(n_K\) | \(f_K = \frac{n_k}{n}\) |
| Total | \(n\) | \(1\) |
Example 13 Un enseignant note 10 élèves sur 20 points et obtient la série :
\[ 12, 15, 14, 12, 10, 15, 12, 16, 14, 15. \]
On regroupe les valeurs dans un tableau :
| Valeur \(x_i\) | Effectif \(n_i\) | Fréquence \(f_i\) |
|---|---|---|
| \(10\) | \(1\) | \(0.10\) |
| \(12\) | \(3\) | \(0.30\) |
| \(14\) | \(2\) | \(0.20\) |
| \(15\) | \(3\) | \(0.30\) |
| \(16\) | \(1\) | \(0.10\) |
| Total | 10 | 1.00 |
On peut observer que la note la plus fréquente est 12 et 15, avec une fréquence de 30%.
Un tableau statistique permet de :
Il peut être utile d’ajouter une colonne des effectifs cumulés croissants pour mieux analyser la distribution :
| Valeur \(x_i\) | Effectif \(n_k\) | Fréquence \(f_k\) | Effectif cumulé \(N_k\) |
|---|---|---|---|
| \(10\) | \(1\) | \(0.10\) | \(1\) |
| \(12\) | \(3\) | \(0.30\) | \(1 + 3 = 4\) |
| \(14\) | \(2\) | \(0.20\) | \(4 + 2 = 6\) |
| \(15\) | \(3\) | \(0.30\) | \(6 + 3 = 9\) |
| \(16\) | \(1\) | \(0.10\) | \(9 + 1 = 10\) |
| Total | 10 | 1.00 | 10 |
Les effectifs cumulés permettent de répondre rapidement aux questions comme :
“Combien d’élèves ont une note inférieure ou égale à 14 ?” → 6 élèves.
Un tableau statistique est un outil fondamental pour analyser une série quantitative discrète.
Il permet de structurer les données, d’en faciliter la compréhension et sert de base pour les calculs statistiques (moyenne, médiane, variance, etc.).
L’analyse graphique d’une série quantitative permet d’obtenir une vue d’ensemble des données et de repérer des tendances ou anomalies. Différents types de graphiques peuvent être utilisés selon le type de données (discrètes ou continues) et l’objectif de l’analyse.
Le diagramme en bâtons est adapté aux données discrètes. Il représente chaque valeur \(x_k\) par une barre verticale dont la hauteur est proportionnelle à son effectif \(n_k\) ou sa fréquence \(f_k\).
Example 14 Un enseignant note 10 élèves et obtient la distribution suivante :
| Note (\(x_k\)) | Effectif (\(n_k\)) |
|---|---|
| 10 | 1 |
| 12 | 3 |
| 14 | 2 |
| 15 | 3 |
| 16 | 1 |
Le diagramme en bâtons permet de visualiser les valeurs les plus fréquentes.
library(ggplot2)
data <- data.frame(
Note = c(10, 12, 14, 15, 16),
Effectif = c(1, 3, 2, 3, 1)
)
ggplot(data, aes(x = factor(Note), y = Effectif)) +
geom_bar(stat = "identity", fill = "steelblue") +
labs(title = "Diagramme en bâtons des notes",
x = "Notes",
y = "Effectifs") +
theme_minimal()
L’histogramme est adapté aux données continues regroupées en classes.
Construction :
Example 15 Soit une étude des salaires en euros avec les classes suivantes :
| Classe (en euros) | Effectif |
|---|---|
| [1000 - 2000[ | 5 |
| [2000 - 3000[ | 8 |
| [3000 - 4000[ | 6 |
| [4000 - 5000[ | 3 |
L’histogramme permet de visualiser la répartition des salaires et de repérer les classes les plus fréquentes.
library(ggplot2)
data <- data.frame(
Classe = factor(c("1000-2000", "2000-3000", "3000-4000", "4000-5000"),
levels = c("1000-2000", "2000-3000", "3000-4000", "4000-5000")),
Effectif = c(5, 8, 6, 3)
)
ggplot(data, aes(x = Classe, y = Effectif)) +
geom_histogram(stat = "identity", fill = "steelblue") +
labs(title = "Histogramme des salaires",
x = "Classe de salaire (euros)",
y = "Effectif") +
theme_minimal()Warning in geom_histogram(stat = "identity", fill = "steelblue"): Ignoring
unknown parameters: `binwidth`, `bins`, and `pad`
Le polygone des fréquences relie les milieux des classes d’un histogramme par des segments.
Utilité :
Exercise 1
library(ggplot2)
data <- data.frame(
Milieu = c(1500, 2500, 3500, 4500),
Effectif = c(5, 8, 6, 3)
)
ggplot(data, aes(x = Milieu, y = Effectif)) +
geom_line(group = 1, color = "blue", size = 1) +
geom_point(color = "red", size = 3) +
labs(title = "Polygone des fréquences",
x = "Milieu de classe (euros)",
y = "Effectif") +
theme_minimal()Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
ℹ Please use `linewidth` instead.
La boîte à moustaches est un graphique adapté pour visualiser la dispersion des données et détecter les valeurs extrêmes.
Example 16 Un boxplot appliqué à des temps de course en secondes (\(n = 10\)) :
| Temps (s) | 45 | 47 | 48 | 50 | 52 | 53 | 55 | 60 | 65 | 80 |
|---|
Le boxplot permet d’identifier rapidement la médiane, la dispersion et les valeurs extrêmes.
library(ggplot2)
data <- data.frame(
Temps = c(45, 47, 48, 50, 52, 53, 55, 60, 65, 80)
)
ggplot(data, aes(y = Temps)) +
geom_boxplot(fill = "lightblue") +
labs(title = "Boxplot des temps de course",
y = "Temps (s)") +
theme_minimal()
Definition 4 (Fonction de répartition) La fonction de répartition, notée \(F_{x_{1:n}}\), est un outil essentiel en statistique descriptive pour analyser la distribution d’un échantillon \(x_1, \ldots, x_n\). Elle indique pour tout réel \(x\), la proportion d’observations de l’échantillon qui sont inférieures ou égales à \(x\). Cette fonction est définie pour tout réel \(x\) par :
\[ F_{x_{1:n}}(x) = \dfrac{\text{Nombre d'observations} \leq x}{n} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n1_{[x_i\leq x]}. \]
Proposition 2 (Fonction de répartition)
Example 17 Considérons un échantillon de valeurs \(x_1, \ldots, x_n\) et calculons sa fonction de répartition. Voici comment cette fonction peut être estimée et représentée en R pour un échantillon hypothétique :
# Échantillon hypothétique
x <- c(2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)
# Calcul de la fonction de répartition
Fx <- ecdf(x)
# Représentation graphique de la fonction de répartition
plot(Fx, xlab="x", ylab="F(x)")
Exercise 2 Vrai ou Faux :
Exercise 3 Pour les sujets d’étude qui suivent, spécifier : l’unité statistique, la variable étuduée et son type,
Exercise 4 On considère une série statistique représentant les revenus mensuels (en euros) de 20 individus dans une ville donnée :
\[ \begin{array}{l} 1200, 1500, 1350, 1800, 2000, 2500, 1600, 1700, 1550, 1400, \\ 2100, 2200, 2300, 1900, 1950, 1750, 1850, 2600, 2700, 2800\\ \end{array} \]
Exercise 5 Les données ci-dessous représentent le tableau des effectifs du nombre de pièces par appartement.
| NbreDePieces | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| NbreAppartements | 48 | 72 | 96 | 64 | 39 | 25 | 3 |
Exercise 6
NbreVoitures = 1:12
NbreObservations = c(2, 8, 14 , 20 , 19 , 15 , 9 , 6 , 2 , 3 , 1 , 1)
df = data.frame(NbreVoitures, NbreObservations)
print(df) NbreVoitures NbreObservations
1 1 2
2 2 8
3 3 14
4 4 20
5 5 19
6 6 15
7 7 9
8 8 6
9 9 2
10 10 3
11 11 1
12 12 1Exercise 7 Le gérant d’un magasin vendant des articles de consommation courante a relevé pour un article particulier qui semble connaître une très forte popularité, le nombre d’articles vendus par jour. Son relevé a porté sur les ventes des mois de Mars et Avril, ce qui correspond à \(52\) jours de vente. Le relevé des observations se présente comme suit :
\[\begin{eqnarray*} 7, & 13, & 8, & 10, & 9, & 12, & 10, & 8, & 9, & 10, \\ 6, & 14, & 7, & 15, & 9, & 11, & 12, & 11, & 12, & 5,\\ 14, & 11, & 8, & 10, & 14, & 12, & 8, & 5, & 7, & 13, \\ 12, & 16, & 11, & 9, & 11, & 11, & 12, & 12, & 15, & 14, \\ 5, & 14, & 9, & 9, & 14, & 13, & 11, & 10, & 11, & 12, \\ 9, & 15, & & & & & & & & \\ \end{eqnarray*}\]
Analyser le nombre d’articles vendus par jour sur \(52\) jours.
Exercise 8 Les données ci-dessous sont les poids (en \(kg\)) de \(n=50\) individus.
\[ \begin{array}{rrrrr} 43 & 43 & 43 & 47 & 48\\ 48 & 48 & 48 & 49 & 49\\ 49 & 50 & 50 & 51 & 51\\ 52 & 53 & 53 & 53 & 54\\ 54 & 56 & 56 & 56 & 57\\ 59 & 59 & 59 & 62 & 62\\ 63 & 63 & 65 & 65 & 67\\ 67 & 68 & 70 & 70 & 70\\ 72 & 72 & 73 & 77 & 77\\ 81 & 83 & 86 & 92 & 93\\ \end{array} \]